domingo, 29 de diciembre de 2013

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

PROPORCIONALIDAD


La proporcionalidad es una relación o razón entre magnitudes mediales. Es uno de los escasos conceptos matemáticos amplia mente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones igualdad entre las magnitudes.



PROPORCIONALIDAD DIRECTA 
Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o x e y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:
y = kx.\,
La relación a menudo se denota
y \propto x
y la razón constante
k = y/x\,
es llamada constante de proporcionalidad.

EJEMPLO:
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar).
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( 5 \over 4 en el ejemplo) tal que
y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n \


Si se consideran  e y_1, y_2 ... y_n \  como valores de variables x \  e y \ , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una función lineal de x.
x_1, x_2 ... x_n \
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
\Delta y = k \cdot \Delta x \
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es
  • reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
  • simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
  • transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).

PROPORCIONALIDAD INVERSA
La constante, o factor de proporcionalidad inversa, puede ser encontrada multiplicando la variable "x" original y la variable "y" original.
Mejor definido en palabras sencillas es que cuando una cantidad o variable sube la otra varible baja o viceversa.
Como ejemplo, el tiempo consumido en una travesía es inversamente proporcional a la velocidad del viaje; el tiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de personas cavando.
El gráfico de dos variables variando inversamente en un plano de coordenadas cartesianas es una hipérbola. El producto de los valores X e Y de cada punto de esa curva igualarán la constante de proporcionalidad (k). Ya que ni x ni y pueden ser igual a cero (si k es distinta de), la curva nunca cruzará ningún eje.

EJEMPLO:
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas
220
450

Nº de días
45
x

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde 

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.


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PORCENTAJES

En matemáticas, el porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.
El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.1 Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:
32\,% = \; 32 \cdot 0,01
y, operando:
32\,% = \; 0,32
El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:
32\,% \cdot 2000 = \; 0,32 \cdot 2000 = \; 640
640 unidades en total.
El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo país.
El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba «P cento» (c. 1425).
Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y ‱ (por diez mil, también conocido como un punto básico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente.
El porcentaje nos dice qué parte de un total representa una cantidad. Y lo hace representando el total por el valor 100 y calculando de esos 100 cuanto correspondería a la cantidad que estamos analizando.
Por ejemplo:
Si hay 10 coches aparcados y 3 son de colo amarillo, ¿Qué porcentaje (que parte del total) representan estos 3 coches?
El total (los 10 coches aparcados) se considera que es el 100 por cien (se representa por 100 %).
Para calcular el porcentaje que representan los 3 coches amarillos:
Se divide el número de cohes amarillos entre el total de coches y se multiplica por 100 (para expresarlo en porcentaje):
3 : 10 = 0,3
0,3 x 100 = 30 %
Los 3 coches amarillos representan el 30% de los coches apa

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